2014白鹭洲中学高考数学适应性考试卷（含答案理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．复数 在复平面中所对应的点到原点的距离为
(A) (B) (C)1 (D)
2.命题“对任意 ，均有 ”的否定为( ).
（A）对任意 ，均有 （B）对任意 ，均有
（C）存在 ，使得 （D）存在 ，使得
3．已知 ， 满足约束条件 ，若 的最小值为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．设a，b∈R，则“a>0，b>0，，是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5.函数 的图象大致是( )
6．设函数 ，其中 ， 为如图所示的程序框图中输出的结果，则 的展开式中常数项是 （ ）
A． B． C． D．
7已知 中，角 的对边是 ，且 成等比数列，则函数 的取值范围是（ ）
A． B. C. D.
8．矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点E、F分别为BC、CD边上动点，且满足EF=1，则 的最大值为（ ）
A．3 B． 4 C．5+ D．5－
9．.已知抛物线y2＝2px（p＞0）与双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为 ( )
A．2＋2 B．5＋1 C．3＋1 D．2＋1
10.一个含有10项的数列 满足： ，则符合这样条件的数列 有（ ）个。
A．30 B. 35 C. 36 D. 40
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.
11.某工厂对一批产品进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分散直方图，其中产品净重的范围是 ，样本数据分组为 .已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于102克的产品的个数是_______
12.几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为________m3.
13. 如果随机变量 的概率分布列由下表给出： 则 =
14．若 对任意的 都成立，则 的最小值为
三、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按所做的第一题评阅记分，本题共5分.
15、（请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题5分）
（1）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，设圆 （ 为参数）上的点到直线 的距离为d，则d的最大值是__________。
（2）（不等式选做题）若存在 ,使 成立,则实数 的取值范围是_________。
三、解答题：本大题共6小题，共75分.
16.（本小题满分12分）
已知函数 的部分图象如图所示.
（I）求函数 的解析式，并写出 的单调减区间；
（II）已知 的内角分别是A，B，C，若 的值.
17. （本小题12分）
如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//CD， ，AB=AD=2CD，侧面 底面ABCD，且 为等腰直角三角形， ，M为AP的中点.
（I）求证：
（II）求证：DM//平面PCB；
（III）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.
18. （本小题12分） 在一次数学测验后，班级学委王明对选答题的选题情况进行了统计，如下表：（单位：人）
几何证明选讲 坐标系与参数方程 不等式选讲 合计
男同学 12 4 6 22
女同学 0 8 12 20
合计 12 12 18 42
（Ⅰ）在统计结果中，如果把《几何证明选讲》和《坐标系与参数方程》称为几何类，把《不等式选讲》称为代数类，我们可以得到如下2×2列联表：（单位：人）
几何类 代数类 总计
男同学 16 6 22
女同学 8 12 20
总计 24 18 42
据此判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关？
（Ⅱ）在原统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选做题的同学中随机选出7名同学进行座谈．已知学委王明和两名数学科代表三人都在选做《不等式选讲》的同学中．
①求在这名班级学委被选中的条件下，两名数学科代表也被选中的概率；
②记抽到数学科代表的人数为X，求X的分布列及数学期望E(X)．
下面临界值表仅供参考：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
参考公式： .
19.（本题满分12分）
设数 满足： ．
(I)求证：数列 是等比数列；
(Ⅱ)若 ，且对任意的正整数n，都有 ，求实数t的取值范围．
20.（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，已知椭圆 的左右顶点为 、 ，直线 、 分别过点 、 且与 轴垂直，点 和 均在椭圆上，其中 为椭圆 的离心率。
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知点P是椭圆 上不同于点 、 的任意一点，直线AP与 交于点D，直线BP与 于点E，线段OD和OE分别与椭圆交于点R，G。
（ⅰ）是否存在定圆与直线 相切？若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由；
ⅱ）求证： 为定值。
21. （本题满分14分）设函数 ，其中 ．
（Ⅰ）如果 是函数 的一个极值点，求实数a的值及 的最大值；
（Ⅱ）求实数a的值，使得函数f(x)同时具备如下的两个性质：
① 对于任意实数 且 ， 恒成立；
② 对于任意实数 且 ， 恒成立．
2014年白鹭洲中学高三适应性考试数学理科答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B C B D A B B B D C
第II卷（非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分. ）
11、60 12、6+ 13、 14、 15、（1） （2）
7. 解：由余弦定理得： ，
所以：
9根据题意可知抛物线的焦点 ,准线方程 ，于是由AF⊥x轴并结合抛物线定义可得 ，对于双曲线，设 是其左焦点，根据勾股定理可得 ，由定义 ，所以 ，即 .
10. 在网格中，由（1,0）点走9步到达（10,5）点，每步需向右移1个单位，同时向上（下）移1个单位，故其中有且只有2步向下移1个单位，不同的走法有 ，选C
四、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（16）解：（Ⅰ）由图象最高点得 ，
由周期 得 所以
当 时， ，可得
因为 所以 故
由图像可得 的单调递减区间为 ………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ,又 ，
. ……12分
17：（I）取 的中点 ，连结 ．
， …………2分
，且 ，
是正三角形， ,
又 ,
平面 ．
． …………………4分
（II）取 的中点 ，连结 ．
分别为 的中点，
，且 ．
∵四边形 是直角梯形， 且 ，
且 ． …………………………6分
∴四边形 是平行四边形．
．
平面 ， 平面
平面 ． …………………………8分
（II） ∵侧面 底面 ，
又 ， 底面 ．
．
∴直线 两两互相垂直，
故以 为原点,直线 所在直线为 轴、 轴和 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ．
设 ，则可求得
，
．
．
设 是平面 的法向量，则 且 ．
取 ，得 ． …………6分
是 的中点， ．
．
．
．
平面 ，
平面 ． ………………………8分
（III）又 平面 的法向量 ，
设平面 与平面 所成锐二面角为 ,
则 ,…………10分
平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ．…………12分
18（Ⅰ）由表中数据得K2的观测值k 42×(16×12－8×6)224×18×20×22 25255≈4.582>3.841.…2分
所以，据此统计可在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关． ……4分
（Ⅱ）由题可知在“不等式选讲”的18位同学中，要选取3位同学．
①方法一：令事件A为“这名班级学委被抽到”；事件B为“两名数学科代表被抽到”，则P(A∩B) ，P(A) .
所以P(B|A) P(A∩B)P(A) 217×16 1136. ……7分
方法二：令事件C为“在这名学委被抽到的条件下，两名数学科代表也被抽到”，
则P(C) 217×16 1136.
②由题知X的可能值为0，1，2.
依题意P(X 0) 3551；P(X 1) 517；P(X 2) 151.
从而X的分布列为
X 0 1 2
P 3551
517
151
……10分
于是E(X) 0×3551＋1×517＋2×151 1751 13. ……12分
19
20.(1) （过程略）………… 2分
（2）（ⅰ）存在定圆 与 相切，证明如下。
设点 ，则 。………… 3分
直线 的斜率为 ，直线 的方程为 ，令 ，得 点坐标为 。………… 4分
直线BE的斜率为 ，直线BE的方程为 ，令 ，得 点坐标为 。………… 5分
由此可得直线 的方程为
原点 到直线 的距离
所以定圆 与 相切。………… 8分
（ⅱ）因为
所以 ,………… 9分
设 的斜率是 ，则由 与 联立得到 ，
所以 。………… 11分
用 代替 ，得 ，………… 12分
所以 。………… 13分
21.
（本题满分14分）
解：（Ⅰ）函数 的定义域是 ，对 求导可得
……………2分
依题意， ，解得 ． ……………3分
此时， ， ．
因为 ，令 ，可得 ；令 ，可得 ．
所以，函数 在 上单调递增，在 上单调递减． ……………5分
因此，当 时， 取得最大值 ． ……………6分
（Ⅱ）令
……………8分
由（Ⅰ）中的结论可知， 对任意 恒成立，即
（*）恒成立． ……………9分
（ⅰ）如果 ，且 ，则 ．
根据（*）可得 , ．
若 满足性质①，则 恒成立,
于是 对任意 且 恒成立，所以 ．…………11分
（ⅱ）如果 且 ，则 ．根据（*）可得
则 ．若 满足性质②，则
恒成立．
于是 对任意 且 恒成立，所以 ．…13分
综合（ⅰ）（ⅱ）可得， ．…………14分
