摘要：本文用模特卡罗模拟方法研究了样本容量在54以下的DW统计量的分布特征，并给出小样本DW检验临界值表。同时用DW检验提出了一个判别最小二乘估计中是否存在虚假回归的有效方法。关键词：模特卡罗模拟，DW分布，非平稳性，协整
Distribution of Small Sample DW Statistic
Zhang Xiaotong1 Zhao Chuxiao2
(1. Institute of International Economics, Nankai University, Tianjin 300071)
(2. Management School, Tianjin University, Tianjin 300072)
Abstract In this paper we investigated the DW distribution with sample size under 54 by Monte Carlo simulation method and gave a critical table for small sample DW test. Based on that we proposed a method for recognizing spurious regression in ordinary least squares estimation.Keywords: Monte Carlo simulation, DW distribution, nonstationary, cointegration
1．概述
八十年代以来，Engle-Granger (1987), Engle-Yoo (1987) 和Sargan-Bhargava (1983)都曾提及用DW统计量检验非平稳变量间的协整性问题。在Sargan-Bhargava (1983)中还专门给出一个DW协整检验用表。但在这些论文中均未对小样本DW统计量的分布特征给与研究。
本文采用蒙特卡罗模拟方法对小样本DW统计量的分布特征进行了充分、详细的研究。样本容量分别取为10，20，30，40和50。变量的设定分为三种情形：一. 所涉及的两个变量都取自I(1)过程；二. 所涉及的两个变量中一个取自I(1)过程，一个取自I(0)过程；三. 所涉及的两个变量都取自I(0)过程。
在有些国家以年为单位的时间序列的最大可观测值个数并不是很大，所以对小样本DW统计量分布特征的研究有着非常重要的理论与现实意义。
本文结构如下。第二节推导两个I(1)变量进行最小二乘回归后，由残差计算的DW统计量的极限分布表达式，第三节介绍蒙特卡罗模拟结果及其分析，第四节给出实例，第五节给出结论。
2．DW统计量的极限分布
给定如下随机数据生成系统，
yt = yt-1 + ut , y1 = 0, （1）
xt = xt-1 + vt , x1 = 0, （2）
其中ut, vt ~ I(0), E(ut) = E(vt) = 0; E(ui uj) = 0, i ¹ j," i, j。则yt和xt为相互独立的两个I(1)过程。
建立如下回归模型：
yt = b0 + b1xt + wt . （3）
当对上式进行最小二乘估计时，会产生虚假回归问题。用随机误差wt的最小二乘估计值 构造DW统计量，
（4）
因为当T ® µ 时， 必然接近于零，上式中分子为Op(1)，而分母T -1sw2也是Op(1)，所以DW统计量是Op(T -1)的。当T ® µ 时，有
DW Þ 0.
即当用两个I(1)变量进行如模型(3)形式的回归时，DW统计量的极限分布为零。
3．小样本DW分布的蒙特卡罗模拟及其结果分析
当样本为有限样本，特别是小样本时，DW统计量的分布与其极限分布有着很大不同。由于上述条件下的DW统计量的分布无法用解析的方法求解，本文用蒙特卡罗模拟方法对DW统计量的小样本分布特征进行了研究。
以模型(3)为基础，除了以yt，xt ~ I(1)为条件对DW分布（记为DW(1,1)）进行模拟外，还分别以yt ~ I(1)，xt ~ I(0) 和yt，xt ~ I(0)为条件进行了模拟（分别记为DW(1,0) 和DW(0,0)）。
由于DW(0,0)就是通常意义的DW统计量，所以只模拟样本容量T = 10, 40两种情形。对于DW(1,1)和DW(1,0)，分别取T = 10, 20, 30, 40和50进行了模拟。在每个样本容量条件下各模拟1000次。所得结果见表一。
首先见表一的第三部分，先分析DW(0,0) 的分布特征。由于DW(0,0) 就是通常意义的DW统计量，所以模拟结果表明，一. DW(0,0)分布的均值为2，不受样本容量大小的影响；二.分布是对称的，相应JB值（表中最后一列）说明小样本DW(0,0)统计量的分布与正态分布相当近似。三. 随着样本容量的增大，分布的标准差逐步减小。
见表一的第一、二部分。小样本DW(1,1)和DW(1,0)统计量有着相似的分布特征。一. 分布均为右偏态，分布左侧有端点，端点为零；二. 随着样本容量的增大，DW(1,1)和DW(1,0)分布的右偏倚程度越来越大，分布均值逐步相左移动，90、95、99百分位数也逐步向左移动，同时分布的标准差逐步减小，分布的峰值越来越大，DW取值向零集中；三. 在样本容量相同的条件下，DW(1,0)分布总是位于DW(1,1)分布的左侧，即DW(1,0)分布的均值、百分位数以及方差都比DW(1,1)分布的相应量小。T = 50模拟1000次的DW(1,1)和DW(1,0)分布的结果分别见图一和图二。
表一 DW分布的蒙特卡罗模拟结果
类 型 样本容量 百 分 位 数 均 值 标准差 偏 度 JB统计量
1 90 95 99
10 0.22 2.18 2.45 2.81 1.28 0.62 0.50 48.74
DW(1,1) 20 0.11 1.28 1.49 1.80 0.75 0.39 0.68 77.61
30 0.09 0.90 1.04 1.39 0.51 0.29 1.07 293.73
40 0.06 0.77 0.88 1.16 0.41 0.25 1.06 250.10
50 0.05 0.59 0.71 0.98 0.33 0.20 1.16 341.31
10 0.18 1.73 2.02 2.38 0.98 0.53 0.73 89.59
20 0.09 1.02 1.21 1.59 0.56 0.34 1.22 369.61
DW(1,0) 30 0.06 0.70 0.83 1.18 0.38 0.24 1.27 430.43
40 0.04 0.54 0.66 0.91 0.30 0.19 1.25 383.68
50 0.04 0.45 0.54 0.71 0.24 0.15 1.12 261.84
DW(0,0) 10 1.31 2.75 2.97 3.24 2.02 0.57 0.00 7.17
40 0.72 2.41 2.53 2.70 2.00 0.31 0.03 4.06
注：1. DW(1,1)表示由两个I(1)变量进行回归，计算得到的DW值
