(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若函数f(x)＝a，则f(x2)＝( )
A．a2 B．a
C．x2 D．x
[答案] B
[解析] ∵f(x)＝a，∴函数f(x)为常数函数，
∴f(x2)＝a，故选B.
2．(2013～2014学年度湖南怀化市怀化三中高一期中测试)函数y＝x－3的定义域是( )
A．(3，＋∞) B．[3，＋∞)
C．(－∞，3) D．(－∞，3]
[答案] B
[解析] 要使函数有意义，应有x－3≥0，∴x≥3，故选B.
3．在下列由M到N的对应中构成映射的是( )
[答案] C
[解析] 选项A中，集合M中的数3在集合N中没有数与之对应，不满足映射的定义；选项B中，集合M中的数3在集合N中有两个数a、b与之对应，选项D中，集合M中的数a在集合N中有两个数1,3与之对应不满足映射的定义，故选C.
4．(2013～2014学年度山东日照一中高一上学期模块调研)已知函数f(x)＝x＋1x<1－x＋3x≥1，则f[f(52)]等于
( )
A.12 B．52
C.92 D．32
[答案] D
[解析] f(52)＝－52＋3＝12，
f(12)＝12＋1＝32，
∴f[f(52)]＝f(12)＝32.
5．(2011～2012学年德州高一上学期期末测试)函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，5)上为减函数，则实数a的取值范围是( )
A．[－4，＋∞) B．(－∞，－4]
C．(－∞，4] D．[4，＋∞)
[答案] B
[解析] 函数f(x)的对称轴为x＝1－a，要使f(x)在区间(－∞，5)上为减函数，应满足1－a≥5，∴a≤－4，故选B.
6．已知一次函数y＝kx＋b为减函数，且kb<0，则在直角坐标系内它的大致图象是( )
[答案] A
[解析] 选项A图象为减函数，k<0，且在y轴上的截距为正，故b>0，满足条件．
7．对于“二分法”求得的近似解，精确度ε说法正确的是( )
A．ε越大，零点的精确度越高
B．ε越大，零点的精确度越低
C．重复计算次数就是ε
D．重复计算次数与ε无关
[答案] B
[解析] ε越小，零点的精确度越高；重复计算次数与ε有关．
8．已知f(x)＝－3x＋2，则f(2x＋1)＝( )
A．－3x＋2 B．－6x－1
C．2x＋1 D．－6x＋5
[答案] B
[解析] ∵f(x)＝－3x＋2，
∴f(2x＋1)＝－3(2x＋1)＋2＝－6x－1.
9．定义在[1＋a,2]上的偶函数f(x)＝ax2＋bx－2在区间[1,2]上是( )
A．增函数 B．减函数
C．先增后减函数 D．先减后增函数
[答案] B
[解析] ∵函数f(x)是偶函数，∴b＝0，定义域为[1＋a,2]，则1＋a＝－2，∴a＝－3.即二次函数f(x)开口向下，则在区间[1,2]上是减函数．
10．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了获得最大利润，每个售价应定为( )
A．95元 B．100元
C．105元 D．110元
[答案] A
[解析] 设每个提价x元(x≥0)，利润为y元，每天销售额为(90＋x)(400－20x)元，进货总额为80(400－20x)元，∵400－20x>0，∴0≤x<20，
y＝(90＋x)(400－20x)－80(400－20x)
＝(10＋x)(400－20x)
＝－20(x－5)2＋4 500(0≤x<20)
∴当x＝5时，ymax＝4 500.
故当每个售价应定为95元时，获得利润最大，最大利润为4 500元．
11．定义两种运算：a⊕b＝ab，a⊗b＝a2＋b2，则f(x)＝2⊕xx⊗2－2为( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
[答案] A
[解析] ∵a⊕b＝ab，a⊗b＝a2＋b2，
∴f(x)＝2⊕xx⊗2－2＝2xx2＋22－2＝2xx2＋2，
∴在定义域R上，有
f(－x)＝2－x－x2＋2＝－2xx2＋2＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，故选A.
12．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则使fx－f－xx<0的x的取值范围为( )
A．(－1,0)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－1,0)∪(0,1)
[答案] D
[解析] 由f(x)为奇函数，可知fx－f－xx＝2fxx<0.而f(1)＝0，则f(－1)＝－f(1)＝0.
当x>0时，f(x)<0＝f(1)；
当x<0时，f(x)>0＝f(－1)．
又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
则奇函数f(x)在(－∞，0)上为增函数，
所以0<x<1或－1<x<0.
二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知函数f(x)＝－x3x≥0－1xx<0，则f[f(－1)]的值为________．
[答案] －1
[解析] ∵x<0时，f(x)＝－1x，
∴f(－1)＝1，又∵x>0时，f(x)＝－x3，
∴f[f(－1)]＝f(1)＝－1.
14．在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似根时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可以断定根所在的区间为________．
[答案] [1.5,2]
[解析] 令f(x)＝x3－2x－1，f(1.5)＝1.53－2×1.5－1<0，f(2)＝23－2×2－1＝3>0，∴f(1.5)•f(2)<0，故可以断定根所在的区间为[1.5,2]．
15．函数f(x)＝x2－mx＋m－3的一个零点是0，则另一个零点是________．
[答案] 3
[解析] ∵0是函数f(x)＝x2－mx＋m－3的一个零点，∴m－3＝0，∴m＝3.
∴f(x)＝x2－3x.
令x3－3x＝0，
得x＝0或3.故函数f(x)的另一个零点是3.
16．已知函数f(x)＝3x3＋ax＋1(a为常数)，f(5)＝7，则f(－5)＝__________.
[答案] －5
[解析] ∵f(5)＝3×53＋a×5＋1＝7，
∴3×53＋5a＝6，
f(－5)＝3×(－5)3＋a×(－5)＋1
＝－3×53－5a＋1
＝－(3×53＋5a)＋1＝－6＋1＝－5.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x＋2x－6.
(1)点(3,14)在f(x)的图象上吗？
(2)当x＝4时，求f(x)的值；
(3)当f(x)＝2时，求x的值．
[解析] (1)∵f(x)＝x＋2x－6，
∴f(3)＝3＋23－6＝－53，
∴点(3,14)不在f(x)的图象上．
(2)f(4)＝4＋24－6＝－3.
(3)令x＋2x－6＝2，即x＋2＝2x－12，
∴x＝14.
18．(本小题满分12分)已知定义域为R的函数f(x)＝x3＋ax2是奇函数．
(1)求a的值；
(2)用定义证明f(x)在定义域内的单调性．
[解析] (1)∵f(x)＝x3＋ax2是奇函数，
∴f(－x)＝(－x)3＋a(－x)2＝－x3＋ax2
＝－f(x)＝－x3－ax2，
∴2ax2＝0，x∈R，∴a＝0.
(2)设任意x1、x2∈R，且x1<x2，
f(x2)－f(x1)＝x32－x31＝(x2－x1)(x22＋x1x2＋x21)
＝(x2－x1)[(x2＋x12)2＋3x214]，
∵x1<x2，∴x2－x1>0，
又(x2＋x12)2＋3x214>0，
∴(x2－x1)[(x2＋x12)2＋3x214]>0，
∴f(x2)>f(x1)，即函数f(x)在定义域内是增函数．
19．(本小题满分12分)(2013～2014学年度河北邢台一中高一月考)已知函数f(x)＝ax2－2ax＋3－b(a>0)在区间[1,3]上有最大值5和最小值2，求a、b的值．
[解析] 依题意， f(x)的对称轴为x＝1，函数f(x)在[1,3]上随着x的增大而增大，
故当x＝3时，该函数取得最大值，即f(x)max＝f(3)＝5,3a－b＋3＝5，
当x＝1时，该函数取得最小值，即f(x)min＝f(1)＝2，即－a－b＋3＝2，
∴联立方程得3a－b＝2－a－b＝－1，
解得a＝34，b＝14.
20．(本小题满分12分)已知f(x)是定义在(－4,4)上的奇函数，且它在定义域内单调递减，若a满足f(1－a)＋f(2a－3)<0，求实数a的取值范围．
[解析] ∵函数f(x)为奇函数，
∴f(1－a)<－f(2a－3)＝f(3－2a)．
又f(x)为(－4,4)上的减函数，
∴－4<1－a<4－4<2a－3<41－a>3－2a，解得2<a<72，
∴a的取值范围是{a|2<a<72}．
21．(本小题满分12分)某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为了鼓励销售商订购，决定每一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
(1)当一次订购量为多个时，零件的实际出厂单价恰好为51元？
(2)当销售商一次订购x个零件时，该厂获得的利润为P元，写出P＝f(x)的表达式．
[解析] (1)设每个零件的实际出厂价格恰好为51元时，一次订购量为x0个，则60－0.02(x0－100)＝51，解得x0＝550，所以当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好为51元．
(2)设一次订量为x个时，零件的实际出厂单价为W，工厂获得利润为P，由题意P＝(W－40)•x，
当0<x≤100时，W＝60；
当100<x<550时，W＝60－0.02(x－100)＝62－x50；
当x≥550时，W＝51.
当0<x≤100时，y＝(60－40)x＝20x；
∴当100<x<550时，y＝(22－x50)x＝22x－150x2；
当x≥550时，y＝(51－40)x＝11x.
故y＝20x 0<x≤100，x∈N＋22x＋x250 100<x<550，x∈N＋11x x≥550，x∈N＋.
22．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5有两个零点．
(1)若函数的两个零点是－1和－3，求k的值；
(2)若函数的两个零点是x1和x2，求T＝x21＋x22的取值范围．
[解析] (1)∵－1和－3是函数f(x)的两个零点，
∴－1和－3是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的两个实数根，
则－1－3＝k－2－1×－3＝k2＋3k＋5，
解得k＝－2，经检验满足Δ≥0.
(2)若函数的两个零点为x1和x2，则x1和x2是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的两根，
∴x1＋x2＝k－2x1•x2＝k2＋3k＋5Δ＝k－22－4×k2＋3k＋5≥0，
则T＝x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝－k2－10k－6
＝－(k＋5)2＋19(－4≤k≤－43)
∴T在区间－4，－43上的最大值是18，最小值为509，
即T的取值范围为509，18.
