圆锥曲线最经典题型研究
第一定义、第二定义、双曲线渐近线等考查
1、（2010辽宁理数）设双曲线的—个焦点为F；虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐
近线垂直，那么此双曲线的离心率为
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
2、（2010辽宁理数）设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如果直线AF的斜率为 ,那么|PF|=
(A) (B)8 (C) (D) 16
【答案】B
3、（2010上海文数）8.动点 到点 的距离与它到直线 的距离相等，则 的轨迹方程为 y28x 。
4、（2010全国卷2理数）（15）已知抛物线 的准线为 ，过 且斜率为 的直线与 相交于点 ，与 的一个交点为 ．若 ，则 ．
若双曲线 - =1(b>0)的渐近线方程式为y= ，则ｂ等于 。
【答案】1
5、已知椭圆 的两焦点为 ,点 满足 ,则| |+ |的取值范围为_______，直线 与椭圆C的公共点个数_____。
6、已知点P是双曲线 右支上一点， 、分别是双曲线的左、右焦点，I为 的内心，若 成立，则双曲线的离心率为（▲ ）
A．4 B． C．2 D．
8、（2010重庆理数）（10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是
A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线
解析：排除法 轨迹是轴对称图形，排除A、C，轨迹与已知直线不能有交点 ，排除B
9、（2010四川理数）椭圆 的右焦点 ，其右准线与 轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点 ，则椭圆离心率的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点 ，
即F点到P点与A点的距离相等
而|FA|＝
|PF|∈[a－c,a＋c]
于是 ∈[a－c,a＋c]
即ac－c2≤b2≤ ac＋c2
∴
又e∈(0,1)
故e∈
答案：D
10、（2010福建理数）若点O和点 分别是双曲线 的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则 的取值范围为 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
11、（北京市海淀区2010年4月高三第一次模拟考试理科试题）已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在 轴上，左右焦点分别为 ，且它们在第一象限的交点为P， 是以 为底边的等腰三角形.若 ，双曲线的离心率的取值范围为 .则该椭圆的离心率的取值范围是 .
12、（2010年4月北京市西城区高三抽样测试理科） 已知双曲线 的左顶点为 ，右焦点为 ， 为双曲线右支上一点，则 的最小值为___________.
13、（北京市东城区2010届高三第二学期综合练习理科）直线 过双曲线 的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于 ， 两点，若原点在以 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是 ．
14、（2010全国卷1文数）已知 、 为双曲线C: 的左、右焦点，点P在C上，∠ = ，则
(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8
15、（2010全国卷1理数）(9)已知 、 为双曲线C: 的左、右焦点，点P在C上，∠ P = ，则P到x轴的距离为
(A) (B) (C) (D)
16、（2010重庆理数）(14)已知以F为焦点的抛物线 上的两点A、B满足 ,则弦AB的中点到准线的距离为___________.
解析：设BF=m,由抛物线的定义知
中，AC=2m,AB=4m,
直线AB方程为
与抛物线方程联立消y得
所以AB中点到准线距离为
17、（2010上海文数）已知椭圆 的方程为 ， 、 和 为 的三个顶点.
（1）若点 满足 ，求点 的坐标；
（2）设直线 交椭圆 于 、 两点，交直线 于点 .若 ，证明： 为 的中点；
（3）设点 在椭圆 内且不在 轴上，如何构作过 中点 的直线 ，使得 与椭圆 的两个交点 、 满足 ？令 ， ，点 的坐标是（-8，-1），若椭圆 上的点 、 满足 ，求点 、 的坐标.
解析：(1) ；
(2) 由方程组 ，消y得方程 ，
因为直线 交椭圆 于 、 两点，
所以>0，即 ，
设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)，
则 ，
由方程组 ，消y得方程(k2k1)xp，
又因为 ，所以 ，
故E为CD的中点；
(3) 因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上，所以点F在椭圆Γ内，可以求得直线OF的斜率k2，由 知F为P1P2的中点，根据(2)可得直线l的斜率 ，从而得直线l的方程．
，直线OF的斜率 ，直线l的斜率 ，
解方程组 ，消y：x22x480，解得P1(6,4)、P2(8,3)．
18、（2010全国卷2理数）（21）（本小题满分12分）
己知斜率为1的直线l与双曲线C： 相交于B、D两点，且BD的中点为 ．
（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F， ，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．
19、（2010安徽文数）椭圆 经过点 ，对称轴为坐标轴，
焦点 在 轴上，离心率 。
(Ⅰ)求椭圆 的方程；
(Ⅱ)求 的角平分线所在直线的方程。
20、（2010全国卷1理数）（21）(本小题满分12分)
已知抛物线 的焦点为F，过点 的直线 与 相交于 、 两点，点A关于 轴的对称点为D.
（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；
（Ⅱ）设 ，求 的内切圆M的方程 .
21、（2010江苏卷）在平面直角坐标系 中，如图，已知椭圆 的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（ ）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M 、 ，其中m>0, 。
（1）设动点P满足 ,求点P的轨迹；
（2）设 ，求点T的坐标；
（3）设 ,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。
22、在直角坐标系 中，点M到点 的距离之和是4，点M的轨迹是C与x轴的负半轴交于点A，不过点A的直线 与轨迹C交于不同的两点P和Q.
（I）求轨迹C的方程；
（II）当 时，求k与b的关系，并证明直线 过 定点.
解：（1） 的距离之和是4，
的轨迹C是长轴为4，焦点在x轴上焦中为 的椭圆，
其方程为 …………3分
（2）将 ，代入曲线C的方程，
整理得
…………5分
因为直线 与曲线C交于不同的两点P和Q，
所以 ①
设 ，则
② ………… 7分
且 ③
显然，曲线C与x轴的负半轴交于点A（-2，0），
所以
由
将②、③代入上式，整理得 …………10分
所以
即 经检验，都符合条件①
当b=2k时，直线 的方程为
显然，此时直线 经过定点（-2，0）点.
即直线 经过点A，与题意不符.
当 时，直线 的方程为
显然，此时直线 经过定点 点，且不过点A.
综上，k与b的关系是：
且直线 经过定点 点 …………13分
23、（北京市朝阳区2010年4月高三年级第二学期统一考试理科）（本小题满分13分）
已知中心在原点，焦点在 轴上的椭圆C的离心率为 ，且经过点 ，过点P（2，1）的直线 与椭圆C在第一象限相切于点M .
（1）求椭圆C的方程；
（2）求直线 的方程以及点M的坐标；
（3））是否存过点P的直线 与椭圆C相交于不同的两点A、B，满足 ？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由.
解（Ⅰ）设椭圆C的方程为 ，由题意得
解得 ，故椭圆C的方程为 .……………………4分
（Ⅱ）因为过点P（2，1）的直线l与椭圆在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可调直线l的议程为
由 得 . ①
因为直线 与椭圆 相切，所以
整理 ，得 解得 [
所以直线l方程为
将 代入①式，可以解得M点横坐标为1，故切点M坐标为 …………9分
（Ⅲ）若存在直线l1满足条件，的方程为 ，代入椭圆C的方程得
因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为
所以
所以 .
又 ，
因为 即 ，
所以 .
即
所以 ，解得
因为A，B为不同的两点，所以 .
于是存在直线 1满足条件，其方程为 ………………………………13分
24、直线 的右支交于不同的两点A、B.
（I）求实数k的取值范围；
（II）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
答案：.解：（Ⅰ）将直线
……①
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故
（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为 、 ，则由①式得
……②
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0）.
则由FA⊥FB得：
整理得
……③
把②式及 代入③式化简得
解得
可知 使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.
